10  Variablen, Funktionen und Operatoren

10.1 Variablen

Bei der Datenverarbeitung müssen Daten auch gespeichert werden, um sie wiederzufinden. Dazu werden die Daten mit einem Bezeichner versehen, über den auf die Daten zugegriffen werden kann. Diese Bezeichner sind in der Folge mit dem zugewiesenen Wert gleichwertig.

Definition 10.1 Ein Bezeichner ist ein Platzhalter für Werte. Ein Bezeichner hat immer einen eindeutigen Namen in einem Geltungsbereich.

Der Begriff Wert ist hier möglichst allgemein zu denken. Ein Wert kann ein fundamentaler Datentyp oder eine Datenstruktur sein. Dateien oder git-Versionen können ebenfalls als Werte behandelt werden.

Bezeichner sind in einem Geltungsbereich immer eindeutig. Das bedeutet, dass Bezeichner mit dem gleichen Namen auf den gleichen Wert verweisen. Ein Bezeichner kann nicht gleichzeitig auf zwei Werte verweisen. Das Wort Geltungsbereich bezieht sich auf dem Zusammenhang, in dem ein Bezeichner verwendet wird. Die Definition besagt daher, dass ein Bezeichner genau einmal im gleichen Zusammenhang verwendet werden darf. Deshalb ist es wichtig, den Geltungsbereich von Bezeichnern genau zu definieren.

Hinweis

Die Definition eines Geltungsbereichs ist in den meisten Programmiersprachen und -Umgebungen genau festgelegt.

Mit Bezeichnern kann wie mit Werten gearbeitet werden, weil ein Bezeichner für einen Wert steht. Ein Bezeichner kann einen einzelnen Wert oder eine beliebige komplexe Datenstruktur aufnehmen. Ein Bezeichner kann auf eine einzelne Zahl oder eine Zeichenkette genauso verweisen, wie auf einen Vektor, eine Liste oder eine Matrix. Bezeichner sind nicht auf die fundamentalen Datentypen beschränkt. Z.B. ist ein Dateiname ein Bezeichner für die Daten in einer Datei oder ein git-Tag ist ein Bezeichner für eine bestimmte Version eines Projektes. Durch den Bezeichner wird vom eigentlichen Wert abstrahiert.

Damit ein Wert über einen Bezeichner abstrahiert werden kann, muss er benannt werden. Das Benennen eines Wertes wird Zuweisen genannt. Der Wert wird also einem Bezeichner zugewiesen. Eine Zuweisung wird in der mathematischen Notation über einen Pfeil (\to) dargestellt. Dabei zeigt der Pfeil vom Bezeichner auf den Wert. Diese Schreibweise bedeutet, dass ein Bezeichner auf den angegebenen Wert verweist. Die Formel 10.1 zeigt die Zuweisung des Wertes 12 an den Bezeichner Wert.

Wert \to 12 \tag{10.1}

Es werden zwei Arten von Bezeichnern unterschieden:

• unveränderliche Bezeichner
• veränderliche Bezeichner

Definition 10.2 Eine Konstante ist ein unveränderlicher Bezeichner.

Konstanten verweisen in ihrem Geltungsbereich immer auf den gleichen Wert. Einer Konstante kann nur einmal ein Wert zugewiesen werden.

Definition 10.3 Eine Variable ist ein veränderlicher Bezeichner.

Variablen kann im gleichen Geltungsbereich mehrmals ein Wert zugewiesen werden. Welcher Wert gerade für eine Variable gültig ist, hängt vom Zeitpunkt einer Verarbeitung ab.

10.2 Funktionen

Funktionen bilden die Grundlage für die Arbeit mit Daten. Funktionen legen fest, wie zu einem bestimmten Ergebnis gelangt wird.

Merke

Eine Funktion erzeugt Ergebnisse.

Alle Ergebnisse einer Funktion sind die Funktionseffekte. Nicht alle Effekte einer Funktion sind erwünscht. Solche unerwünschten Effekte werden Nebeneffekte genannt.

Ist das Ergebnis einer Funktion ein Wert, dann heisst dieser Wert, der Rückgabewert der Funktion. Eine Funktion kann mehr als einen Effekt haben. Entsprechend muss das Ergebnis einer Funktion in einer Rückgabeliste zusammengefasst werden.

Wie eine Funktion die Effekte erzeugt, wird im Funktionskörper festgelegt.

Manche Funktionen benötigen Eingaben, um daraus die Ergebnisse zu erzeugen.

Definition 10.4 Die Eingaben einer Funktion heissen Parameter. Eine Funktion akzeptiert diese Parameter als Eingabe.

Parameter sind spezielle Variablen mit dem Geltungsbereich des Funktionskörpers.

Parameter müssen von Argumenten abgegrenzt werden.

Definition 10.5 Ein Argument heisst ein Wert, der einem Parameter zugewiesen wird.

Merke

Argumente beziehen sich auf die Werte, die für die Ausführung einer Funktion von aussen übergeben werden.

Parameter beziehen sich auf Werte, die während einer Funktionsausführeung innerhalb des Funktionskörpers verwendet werden.

Eine Funktion kann natürlich auch mehrere Parameter haben. Die Parameter einer Funktion werden als Parameterliste bezeichnet. Eine solche Parameterliste darf auch eine leere Liste sein.

Die Datentypen der Parameter legen den Definitionsbereich einer Funktion fest. Der Datentyp der Rückgabe werde legt den Zielbereich fest. Eine Funktion stellt also eine Beziehung zwischen dem Definitionsbereich und dem Zielbereich her.

Eine Funktion, die keine Parameter akzeptiert, wird ist eine parameterlose Funktion. Eine parameterlose Funktion hat deshalb eine leere Parameterliste als Eingabe.

So lässt sich die Funktionsdefinition erweitern und präzisieren:

Definition 10.6 Eine Funktion erzeugt Effekte im Zielbereich mithilfe einer Parameterliste mit Werten im Definitionsbereich.

Formal lässt sich diese Definition wird der durch die Rückgabeliste definierte Zielbereich dem Bezeichner E zugewiesen und den Definitionsbereich der Parameterliste mit P gekennzeichnet, dann ist entsprechend dieser Definition jede Funktion entsprechend Formel 10.2 definiert.

f: P \to E \tag{10.2}

Diese Formel wird wie folgt gelesen: Die Funktion f bildet den Definitionsbereich P auf den Zielbereich E ab. Die Formel kann auch analog zur Definition von Bezeichnern gelesen werden: Für die Funktion f verweisen alle Werte im Definitionsbereich P auf Werte im Zielbereich E. Diese Beziehung zwischen Definitionsbereich P und Zielbereich E legt die Funktion fest. f ist der Bezeichner der Funktion. Durch den Bezeichner und den Definitionsbereich der Parameterliste ist eine Funktion eindeutig beschrieben.

Diese Funktionsdefinition benötigt keinen Funktionskörper. Tatsächlich können die gleichen Ergebnisse auf unterschiedlichen Wegen aus den gleichen Parametern erzeugt werden. Das kann bspw. durch die Verwendung unterschiedlicher Programmiersprachen sein.

Definition 10.7 Wenn zwei Funktionen für die gleichen Parameter das gleiche Ergebnis erzeugen, dann sind diese Funktionen funktional gleich.

Um eine Funktion zu verwenden, muss diese aufgerufen werden. Ein Funktionsaufruf wird meistens durch eine rundes Klammerpaar dargestellt. Wird eine Funktion aufgerufen, wird der Funktionskörper mit den Werten in den Parametern ausgeführt. Der Funktionsaufruf f(x) wählt für einen Wert x aus dem Definitionsbereich P den entsprechenden Wert y aus dem Zielbereich E aus.

Manche Programmiersprachen ermöglichen die Verwendung des gleichen Bezeichners für unterschiedliche Definitions- und Zielbereiche.

Definition 10.8 Hat ein Funktionsbezeichner mehrere Definitionsbereiche, dann heisst diese Funktion polimorph (gr. poli: viel, gr. morphos: Gestalt).

Bei polimorphen Funktionen muss der Funktionsbezeichner und die Parameterliste gemeinsam eindeutig sein.

In den Datenwissenschaften kommen im Wesentlichen drei Arten von Funktionen zum Einsatz:

1. Transformationen, welche einen Wert in einen anderen Wert überführen;
2. Aggregatoren, die mehrere Werte zusammenfassen; und
3. Generatoren, mit denen Werte erzeugt werden.

10.2.1 Substitution

Hinweis

Wird ein Teil einer komplexen Operation in eine einfachere Funktion ausgelagert, dann spricht man von Substitution.

In der Mathematik wird beim Substituieren die Teiloperation in der Regel nur durch Bezeichner der ersetzenden Funktion angegeben. In der Praxis müssen solche Ersetzungsfunktionen explizit parametrisiert und ausgeführt werden.

Die folgenden beiden Beispiele illustrieren die Substitution mit einfachen mathematischen Funktionen.

Die Operation in Formel 10.3 führt zwei Operationen nacheinander aus.

f(a,b) \to (a - b)^2 \tag{10.3}

Wird die Teiloperation a - b substituiert, dann ergibt sich Formel 10.4.

f(a,b) \to s^2 ; s = a - b \tag{10.4}

In diesem Beispiel wurde nur die Subtraktion substituiert. Weil der Bezeichner s die Subtraktion versteckt, können die Klammern der ursprünglichen Operation entfallen.

Durch Substituieren lassen sich häufig die grundsätzlichen Ideen von komplexen Operationen leichter erkennen und vereinfachen. Das Beispiel in Formel 10.5 zeigt diesen Effekt.

g(a,b) \to \frac{a + b - 2ab}{b-a} \Leftrightarrow -\frac{(a-b)^2}{a-b} \tag{10.5}

Für die rechte Operation wird in Formel 10.6 wieder die Substitution s = a - b verwendet.

Bei einer Substitution sollen möglichst viele Teilterme mit dem gleichen Bezeichner substituiert werden. Deshalb wurde der Nenner b-a so umgeformt, dass auch im Nenner der Term a-b steht. Dazu wurde ausgenutzt, dass gilt b-a \Leftrightarrow -(a-b). Das Vorzeichen kann in diesem Fall vor dem Bruch gezogen werden, so dass die Klammern um a-b entfallen können.

g(a,b) \to - \frac{s^2}{s} \Leftrightarrow - s; s = a - b \tag{10.6}

Der Bezeichner der Substitution unterscheidet sich nicht von anderen Bezeichnern. Es kann also angenommen werden, dass s ein beliebiger Wert ist. So lässt sich leicht erkennen, dass s gekürzt werden kann. Rein technisch wurde für den Substitutionsterm eine Funktion s mit zwei Parametern erstellt. Diese Funktion ist in diesem Beispiel identisch mit der Funktion subtraktion(), mit der ein Wert von einem anderen abgezogen wird.

Um die ursprüngliche Operation zu erhalten, muss die Substitution rückgängig gemacht werden. Dazu wird der substituierte Bezeichner durch die ursprüngliche Teiloperation ersetzt. Daraus ergibt sich Formel 10.7.

g(a,b) \to -(a-b) \Leftrightarrow b-a \tag{10.7}

Diese Operation b-a ist wesentlich einfacher als die ursprüngliche Funktion. Solches Vereinfachen von Funktionen ist für die Praxis wichtig, weil dadurch zum einen die Komplexität von Operationen verringert werden kann und zum anderen die Ausführungsgeschwindigkeit durch den Wegfall von Operationen erhöht werden kann.

10.2.2 Spezielle Funktionen

10.2.2.1 Konstante Funktionen

Definition 10.9 Eine konstante Funktion erzeugt für jede Eingabe immer den gleichen Ergebniswert w.

Konstante Funktionen sind formal wie in Formel 10.8 definiert:

f_{kW}(x) \to W \tag{10.8}

Das bedeutet, dass unabhängig von der Eingabe immer der Wert von W als Ergebnis folgt.

10.2.2.2 Die Identitätsfunktion

Die nächste Funktion ähnelt in ihrer Definition konstanten Funktionen.

Definition 10.10 Die Identitätsfunktion gibt für eine Eingabe diese Eingabe als Ergebnis zurück.

Die formale Definition der Identitätsfunktion zeigt Formel 10.9.

f_{id}(x) \to x \tag{10.9}

Im Unterschied zu konstanten Funktionen ist das Ergebnis kein konstanter Wert, sondern der Wert der Parameter. Auf den ersten Blick erscheint diese Funktion sinnlos, denn sie verändert die Eingabeparameter nicht. Diese Funktion erfüllt in der Mathematik und in den Datenwissenschaften die gleiche Bedeutung wie die Zahl 1 für die Multiplikation oder die Zahl 0 für die Addition.

Die Identitätsfunktion ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion der Identitätsfunktion ist die Identitätsfunktion selbst.

10.2.2.3 Projektionen

Definition 10.11 Eine Projektion bezeichnet eine Funktion, die den gleichen Eingaben immer die gleichen Ergebnisse zuweist.

Definition 10.12 Eine Projektion heisst umkehrbar, wenn eine zweite Funktion existiert, welche die Rückgabeliste der ersten Funktion als Parameterliste hat und aus dieser die Parameterliste der ersten Funktion als Rückgabeliste erzeugt. Diese zweite Funktion ist die Umkehrfunktion der ersten Funktion.

Die Umkehrfunktion einer Funktion f wird als f^{-1} geschrieben.

Aus diesen beiden Definitionen folgt im Umkehrschluss, dass nicht jede Funktion eine Projektion und nicht jede Projektion umkehrbar ist.

10.3 Operatoren

Aus den Grundrechenarten sind Operatoren bekannt. Diese Operatoren sind z.B. +, -, * und /. Diese Operatoren sind in der Mathematik und den Datenwissenschaften Funktionen.

Definition 10.13 Eine Operation bezeichnet die Anwendung eines Operators. Eine Operation besteht aus einem Operator und den Operanden.

Ein Operator ist eine alternative Schreibweise für häufig verwendete Funktionen.

Die meisten Operatoren sind unär oder binär. Unäre Operatoren haben nur einen Parameter. Ein unärer Operator ist das Vorzeichen - oder das %-Zeichen. Binäre Operatoren haben zwei Parameter. Alle Grundrechenarten sind binäre Operatoren.

Bei Operatoren wird zwischen Präfix, Infix und Postfix unterschieden. Präfix-Operatoren stehen vor den Parametern, Infix-Operatoren zwischen den Parametern und Postfix-Operatoren stehen nach den Parametern. Die Grundrechenarten sind Infix-Operatoren.

10.3.1 Precedence - Priorität von Operatoren

In komplexen Operationen ist nicht immer eindeutig, welche Parameter zu welchem Operator gehören. Damit richtig gerechnet wird, besteht zwischen den Operatoren eine Hierarchie, in welcher jeder Operator eine bestimmte Priorität für die Ausführung hat. Das bedeutet, dass ein Operator mit höherer Priorität vor einem Operator mit niedrigerer Priorität ausgeführt wird. Bei Operatoren mit gleicher Priorität wird immer der am weitesten links stehende Operator zuerst ausgeführt.

Um einen Operator in der Anwendung vorzureihen, werden Klammern verwendet. Klammern legen die Reihenfolge der Operationen fest.

Eine wichtige Hierarchie für die Grundrechenarten ist die sog. KEPS-Regel. Diese Regel legt die Reihenfolge der Operationen fest. Die KEPS-Regel ist eine Abkürzung für die Operationen:

1. Klammern
2. Exponenten
3. Punktrechnung
4. Strichrechnung.

Diese Abkürzung dient als Eselsbrücke für die Prioritäten der Grundrechenarten. Sind zwei Operationen auf der gleichen Hierarchiestufe, dann werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.

Exponenten werden in der Mathematik in der Regel hochgestellt dargestellt. Die meisten Programmiersprachen unterstützen keine Formatierung von Formeln als Kennzeichnung von Operatoren. Deshalb wird der Potenz-Operator mit einem expliziten Operator dargestellt. Meist ist dies der ^-Operator.

Achtung

Die Programmiersprache Python weicht von dieser Konvention ab und verwendet den **-Operator für Exponenten. Der ^-Operator ist in Python der sog. bitweise XOR-Operator. (Python Software Foundation, 2013)

10.3.2 Besondere Operatoren

10.3.2.1 Divisions-Operatoren

Unter den Grundrechenarten ist die Division ein Unikum. Als Einzige der Grundrechenarten kann das Ergebnis einen anderen Zahlentyp haben als die Operanden. Beispielsweise ergeben sich aus ganzen Zahlen rationale Zahlen und aus reellen Zahlen können sich ganze oder rationale Zahlen ergeben. Daraus ergibt sich, dass die Division über einen kontinuierlichen Wertebereich arbeitet.

Die Division kann in zwei Unteroperationen gegliedert werden:

• Der Ganzzahldivision
• Dem Modulo

Für beide Operationen gilt, dass das Ergebnis von gleichem Zahlentyp ist, wie die Operanden.

Die Ganzzahldivision hat den ganzzahligen Anteil einer Division als Ergebnis. Damit ist der Wert vor dem Komma gemeint. Diese Operation ähnelt dem Runden, allerdings wird nur der Nachkommateil entfernt.

Die Ganzzahldivision eignet sich zur Gruppierung von Werten in gleich grosse Blöcke. Ein Block ist dabei ein Intervall im Wertebereich der Variablen. Die Grösse eines Blocks wird durch den Divisor festgelegt.

Weil die Ganzzahldivision für mehrere Werte in einem Intervall das gleiche Ergebnis hat, wird die Ganzzahl mit der Intervallschreibweise gekennzeichnet.

Beispiel 10.1 (Ganzzahldivision) \lfloor \frac{6}{4} \rfloor = 1

Die Modulo-Operation gibt den Rest nach der Ganzzahldivision zurück. Das Ergebnis von Modulo ist die Differenz des Dividenden bis zum Ergebnis der Ganzzahldivision multipliziert mit dem Divisor.

Beispiel 10.2 (Modulo-Operation) mod(6,4) = 6 - 4 \cdot \lfloor \frac{6}{4} \rfloor = 2

Modulo erzeugt nur Werte im Intervall 0 \le m < |d|, wobei m das Ergebnis von Modulo und d der Divisor ist. Auf diese Weise lassen sich beliebige Werte auf ein Intervall mit fester Länge d projizieren.

Praxis

Die Ganzzahldivision und Modulo werden häufig als einfache und effiziente Gruppierungsoperatoren verwendet.

10.3.2.2 Der Zuweisungsoperator

Der Zuweisungsoperator ist ein besonderer Operator. Er ist ein binärer Operator, der einen Wert einem Bezeichner zuweist. Die meisten Programmiersprache verwenden dafür den =-Zeichen. Dabei steht der Bezeichner links und der Wert rechts vom Operator.

Manche Programmiersprachen unterstützen gerichtete Zuweisungsoperatoren, bei denen der Bezeichner rechts vom Operator steht. Diese gerichteten Zuweisungsoperatoren sind in der Regel eine Abkürzung für eine Operation mit dem Bezeichner und dem Wert.

Der Zuweisungsoperator ist zu allen anderen Operatoren nachrangig. Das bedeutet, dass der Zuweisungsoperator immer als letzter Operator einer Operation ausgeführt wird.

Tipp

Der Zuweisungsoperator ist beim Programmieren wichtig, deshalb sollte man sich beim Erlernen einer Programmiersprache unbedingt mit allen Formen dieses Operators vertraut machen.

10.3.2.3 Der Anwendungsoperator

Werden Klammern unmittelbar nach einem Funktionsbezeichner angegeben, dann ändern diese Klammern ihre Bedeutung, indem sie die Anwendung der bezeichneten Funktion erfordern. Mithilfe des Anwendungsoperators kann zwischen der Anwendung einer Funktion und ihrem Bezeichner unterschieden werden.

Warnung

Der Anwendungsoperator kann ausschliesslich mit Bezeichnern verwendet werden, die auf eine Funktion verweisen.

Die Funktion addieren(a, b) hat den Bezeichner addieren und die Parameter a und b. Der Bezeichner addieren ohne den Anwendungsoperator (()), verweist auf die Funktion selbst. So kann die gleiche Funktion einem anderen Bezeichner zugewiesen werden, bspw. dem Bezeichner zusammenzählen. Es gilt dann Formel 10.10.

\begin{aligned} addieren(a,b) &\to a + b \\ zusammenzählen &\to addieren \end{aligned} \tag{10.10}

Nun können die beiden Bezeichner mit dem Anwendungsoperator verwendet werden, um die Ergebnisse der Addition zu erhalten.

\begin{aligned} addieren(1, 2) &= 3 \\ zusammenzählen(2, 3) &= 5 \\ zusammenzählen(2, 1) &= 3 \end{aligned}

10.3.2.4 Der Index-Operator

In der Mathematik werden Indizes durch tieferstellen gekennzeichnet. Ein Index wird dann verwendet, wenn ein Bezeichner auf eine Datenstruktur verweist. Der Index bezeichnet den Wert an der entsprechenden Position in der Datenstruktur. Am Beispiel des Summe-Operators wird dies in Formel 10.11 verdeutlicht.

\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot y_i \tag{10.11}

Das Symbol \Sigma ist der Summe-Operator. Dieser Operator addiert alle Werte im angegebenen Bereich. Hier ist das der Bereich i = 1 bis n, wobei n für die Anzahl der Werte in einer Datenstruktur steht. In diesem Fall werden zwei Listen x und y verwendet. Das tiefergestellte i bei x_i und y_i ist der rechte Operand des Indexoperators. Das i ist weiterhin ein Bezeichner. Die Summe-Funktion zählt diesen Wert hoch, bis der Wert n erreicht ist. Dieser Index gibt an, welche Werte aus den Datenstrukturen x und y addiert werden sollen. Weil der Bezeichner n nicht explizit angegeben ist, wir dieser als Konstante für die Anzahl der Werte in den Datenstrukturen angenommen. Weil der Wert von n bei zwei Datenstrukturen mehrdeutig sein könnte, bedeutet diese Schreibweise, dass beide Datenstrukturen gleich lang sind.

10.4 Das neutrale Element

Manche Funktionen haben die besondere Eigenschaft, dass es einen Wert im Definitionsbereich gibt, der für alle Werte im Definitionsbereich das gleiche Ergebnis unabhängig davon erzeugt, als welcher Operand dieser Wert verwendet wird. Dieser Wert wird als das neutrales Element des Operators bezeichnet. Für die Addition ist das die Zahl 0 und für die Multiplikation ist das die Zahl 1.

Definition 10.14 Das neutrale Element eines Operators ist ein Wert im Definitionsbereich, der für alle Werte im Definitionsbereich des jeweils anderen Operanden diesen Wert als Ergebnis erzeugt.

Ist der Definitionsbereich durch den Datentyp Zahl festgelegt, dann muss das neutrale Element genau eine Zahl sein.

Gemäss dieser Definition muss für das neutrale Element die Gleichung Formel 10.12 gelten.

e_n \circ x = x \circ e_n = x \tag{10.12}

e_n ist hier kein Index, sondern der Bezeichner für das neutrale Element. \circ ist ein Operator, für den ein neutrales Element geprüft werden soll. Dieses Symbol ist ein Bezeichner für einen geeigneten Operator. x ist der jeweils andere Operand. e_n ist für den jeweiligen Operator konstant. D.h. Es muss genau einen Wert geben, für den mit allen anderen Werten des Definitionsbereichs, inklusive sich selbst, diese Gleichung erfüllt ist.

10.4.1 Überprüfung

Das neutrale Element einer Operation muss auf beiden Positionen des zugehörigen Operators immer den jeweilig anderen Operanden als Ergebnis erzeugen, so dass Formel 10.12 gilt.

Für die Grundrechenarten lässt sich das neutrale Element durch Umformen der Definition des neutralen Elements bestimmen. Formel 10.13 zeigt das für die Addition.

\begin{aligned} & & e_n + a &= a \\ \Leftrightarrow & & e_n &= a - a \\ \Leftrightarrow & & e_n &= 0 \end{aligned} \tag{10.13}

Dieses Ergebnis wird durch Einsetzen in den restlichen Teil der Definition in Formel 10.14 überprüft.

\begin{aligned} & & e_n + a &= a + e_n \\ \Leftrightarrow & & 0 + a &= a + 0 \\ \Leftrightarrow & & a &= a + 0 - 0 \\ \Leftrightarrow & & a &= a \end{aligned} \tag{10.14}

Die gleichen Überlegungen lassen sich auf andere Operationen, wie z.B. der Division anwenden. Das wird in Formel 10.15 gezeigt.

\begin{aligned} & & a : e_n &= a \\ \Leftrightarrow & & \frac{a}{e_n} &= a \\ \Leftrightarrow & & e_n &= \frac{a}{a} \\ \Leftrightarrow & & e_n &= 1 \end{aligned} \tag{10.15}

Zum Überprüfen wird dieses Ergebnis entsprechend eingesetzt, wie Formel 10.16.

\begin{aligned} & & a : e_n &= e_n : a \\ & & a : 1 &= 1 : a \\ \Leftrightarrow & & a &= 1 : a \\ \Leftrightarrow & & a \cdot a &= 1 \\ \Leftrightarrow & & a ^ 2 &= 1 \end{aligned} \tag{10.16}

Dieses Ergebnis gilt nicht für alle möglichen Werte von a, sondern nur für den einen Fall a = 1. Damit kann die Lösung e_n = 1 nicht das neutrale Element der Division sein. Möglicherweise liefert die andere Teilgleichung ein besseres Ergebnis.

\begin{aligned} & & e_n : a &= a \\\ \Leftrightarrow & & \frac{e_n}{a} &= a \\ \Leftrightarrow & & e_n &= a\cdot a \\ \Leftrightarrow & & e_n &= a^2 \end{aligned} \tag{10.17}

Auch dieser Weg führt zu keinem Ergebnis für das neutrale Element, weil e_n ein Element des Definitionsbereichs sein muss. In diesem Fall muss dieser Wert eine Zahl sein. Die Lösung e_n = a^2 liefert für unterschiedliche Werte für a verschiedene Werte für e_n. Deshalb kann a^2 keine Lösung für das neutrale Element sein.

Aus diesen Betrachtungen folgt, dass die Division kein neutrales Element hat, weil über beide Definitionen des neutralen Elements kein eindeutiges Ergebnis für die Division gefunden wurde.

Merke

Nicht jede Operation hat ein neutrales Element.

10.4.2 Redundanz

Für das neutrale Element eines Operators ist die Operation mit der Identitätsfunktion funktional gleich.

Definition 10.15 Ergeben mehrere Teiloperationen immer das neutrale Element für die nächste Operation, dann sind diese Operationen redundant.

Merke

Redundante Operationen können aus einer Operation entfernt werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

Praxis

Redundante Operationen sollten in der Praxis möglichst immer vermieden werden, weil sie keinen Einfluss auf das Ergebnis haben, aber trotzdem Kapazitäten beanspruchen. Das verlangsamt den Arbeitsprozess unnötig. Leider sind redundante Operationen nicht immer als solche erkennbar.

10.5 Funktionsketten

Wenn das Ergebnis einer Funktion als Parameter einer beliebigen anderen Funktion verwendet wird, dann sind die beiden Funktionen verkettet. Mit verketteten Funktionen lassen sich komplexere Funktionen bilden. Umgekehrt lassen sich komplexe Funktionen in eine Verkettung einfacherer Teilfunktionen gliedern. Diese Technik heisst Problemzerlegung

Definition 10.16 Eine Funktionskette ist eine Abfolge von Funktionen, wobei eine nachfolgende Funktion das Ergebnis einer vorangehenden Funktion als Parameter akzeptiert.

Die Funktionsverkettung dient dem Festlegen der Reihenfolge von Operationen. Das Prinzip der Funktionsverkettung ist einfach: Es wird das Ergebnis einer Funktion als Parameter einer anderen Funktion verwendet.

Hinweis

In der Literatur wird die Funktionsverkettung auch als Composting bezeichnet.

Das folgende Beispiel nutz aus, dass die Operatoren der Grundrechenarten eigentlich Funktionen sind. Die Operation aus Formel 10.3 verwendet also die beiden Funktionen subtraktion() und potenz(). Formel 10.18 zeigt die Operation aus Formel 10.3 als verkettete Funktionen.

f(a,b) \to potenz(subtraktion(a,b),2) \tag{10.18}

Bei dieser Funktionsdefinition fällt auf, dass die Funktionen die durch die Verkettung gebildete Funktion f zwei Parameter hat. Die beiden verketteten Funktionen subtraktion() und potenz() verwenden jedoch die drei Parameter a, b und 2. In diesem Fall ist der Wert 2 eine Konstante, die nur im Geltungsbereich der Funktion f verwendet wird.

Im Gegensatz zu Operatoren ist die Ausführungsreihenfolge verketteter Funktionen eindeutig: Verkettete Funktionen werden immer von innen nach aussen ausgeführt. In Formel 10.18 wird die Funktion subtraktion() vor der Funktion potenz() ausgeführt.

Werden Funktionsaufrufe als Parameter von anderen Funktionen geschrieben, dann sind diese Funktionen geschachtelt geschrieben. In geschachtelten Funktionsketten lässt sich die Reihenfolge der Funktionsaufrufe nicht immer leicht erkennen. Das ist immer dann der Fall, wenn viele Funktionen verkettet wurden. In solchen Fällen hilft die Darstellung der Funktionskette als Baum. Abbildung 10.1 zeigt den Funktionsbaum für Formel 10.18.

Hinweis

Ein Funktionsbaum ist eine Spezialform eines sog. Abstract Syntax Tree. (Knuth, 1968)

graph TB

p([potenz]) --- Basis --> s([subtraktion])
p --- Exponent ----> w((2))

s --- Minuent --> a((a))
s --- Subtrahend --> b((b))

Abbildung 10.1: Funktionsbaum für Formel 10.18

In Abbildung 10.1 sind Funktionsnamen in den abgerundeten Feldern und Parameter in Rechtecken dargestellt. Werte und Variablen sind in Kreisen dargestellt. Ein Funktionsbaum wird von unten nach oben gelesen: Je weiter unten im Baum eine Funktion steht, desto früher wird sie ausgeführt. Die Funktionskette wird deutlich, indem man den Verbindungen zwischen den Funktionen folgt.

Um die Ausführungsreihenfolge bereits in der Notation einer Funktionskette zu verdeutlichen, wird der allgemeine Verkettungsoperator (\circ) verwendet. Dieser Operator ist ein spezieller Operator für Funktionen, der zwei Funktionen miteinander verkettet. Die mit diesem Operator verkettete Version von Formel 10.18 wird in Formel 10.19 gezeigt.

f(a, b) \to (potenz \circ subtraktion)(a, b, 2) \tag{10.19}

In dieser Schreibweise wird die Ausführungsreihenfolge von rechts nach links gelesen. Die Parameter werden von links nach rechts den Funktionen übergeben.

Der allgemeine Verkettungsoperator findet sich regelmässig in Literatur über die Analyse von Algorithmen, um verkettete Funktionen anzuzeigen. In diesem Fall fehlen in der Regel die Parameter, wie in Formel 10.20.

f \to potenz \circ subtraktion \tag{10.20}

Ausgehend vom allgemeinen Verkettungsoperator hat sich in den Datenwissenschaften ein spezieller Verkettungsoperator (\triangleright) für die Praxis als bedeutsam herausgestellt. Bei dieser Verkettung folgt die Ausführungsreihenfolge dem Fluss der Daten durch eine Funktionskette von links nach rechts. Dabei wird angenommen, dass das Ergebnis einer vorangehenden Funktion der erste Parameter der nachfolgenden Funktion ist. Bei den nachfolgenden Funktionen wird in dieser Notation der erste Parameter bei nachfolgenden Funktionen weggelassen. Ansonsten bleiben die Funktionsaufrufe unverändert. Formel 10.21 zeigt diese Schreibweise mit dem speziellen Verkettungsoperator für die Funktionskette aus Formel 10.18.

f(a, b) \to subtraktion(a, b) \triangleright potenz(2) \tag{10.21}

Die Funktionsverkettung mit dem speziellen Verkettungsoperator zeigt in vielen Fällen die Logik einer komplexen Funktion besser als die geschachtelte Schreibweise. Die Parameterliste P einer verketteten Funktion wird so getrennt, dass der erste Parameter P_1 nicht mehr Teil der gekürzten Parameterliste P' ist, so dass Formel 10.22 gilt.

Für diese Eigenschaft der geteilten Parameterliste für die spezielle Funktionsverkettung muss der Spezialfall berücksichtigt werden, dass die Parameterliste P leer ist. In diesem Fall kann diese Liste nicht geteilt werden, weil es keinen ersten Parameter P_1 gibt. Formel 10.22 gilt also nur, wenn die Parameterliste P nicht leer ist.

P = P_1 \cap P'; P \neq \varnothing \tag{10.22}

Aus dieser Bedingung hat die Konsequenz, dass die spezielle Funktionsverkettung nur verwendet werden kann, wenn die nachfolgende Funktion mindestens einen Parameter hat.

Merke

Für parameterlose Funktionen als rechter Operand sind die allgemeine und die spezielle Funktionsverkettung undefiniert.

Weil die verbleibende Parameterliste Teil der Operation ist, darf sie vom Operator nicht vernachlässigt werden. Der Operator muss also den ersten Parameter, die nachfolgende Funktion und die restlichen Parameter der nachfolgenden Funktion berücksichtigen. Daraus ergibt sich, dass der spezielle Funktionsverkettungsoperator kein binärer Operator ist. Die Funktion der speziellen Funktionsverkettung ist in Formel 10.23 definiert.

P_1 \triangleright f(P') \Leftrightarrow \triangleright(P_1, f, P') \to f(P_1, P') \tag{10.23}

In der Definition der speziellen Funktionsverkettung fehlt die vorangehende Funktion. Dieses Fehlen ergibt sich aus der Logik von Operatoren, weil höherwertige Teiloperationen vor niederwertigen Teiloperationen oder weiter links stehende Teiloperationen zuerst ausgeführt werden müssen. Der erste Parameter der nachfolgenden Funktion ist deshalb immer das Ergebnis einer vorangehenden Funktion. Diese Überlegung lässt sich weiter verallgemeinern:

Merke

Jeder Wert oder Bezeichner im Wertebereich von P_1 kann als linker Operand der speziellen Funktionsverkettung verwendet werden.

10.5.1 Anwendung von Funktionsketten

Funktionsketten sind ein leistungsfähiges Werkzeug für die Problemzerlegung bei der Datenarbeit. Funktionen lassen sich jedoch nicht beliebig verketten.

Merke

Funktionen lassen sich nur verketten, wenn die Rückgabewerte der vorangehenden Funktion den gleichen Wertebereich haben, wie der entsprechende Parameter der nachfolgenden Funktion.

Weil unter dieser Voraussetzung jede Funktion als Parameter einer anderen Funktion verkettet werden kann, lassen sich mit verketteten Funktionen beliebig komplexe Operationen bilden. Jede diese Operationen ist automatisch eine Funktion. Deshalb werden Funktionsketten in der Praxis häufig als zentraler Teil von Funktionen eingesetzt.

Mit diesem Wissen lassen sich die Eigenschaften von Funktionen in Funktionsketten untersuchen.

10.6 Funktionen als Werte

Bei der Substitution im Abschnitt 10.2.1 wurde eine Teiloperation einem Bezeichner zugewiesen, der anschliessend wie eine normale Variable behandelt wurde. Gleichzeitigt war dieser Bezeichner eine Funktion für die substituierte Teiloperation. Diese Überlegungen behandeln Funktionen genau gleich wie andere Datentypen.

Der Datentyp Funktion gibt einen gültigen Wertebereich vor. Die Symbole dieses Wertebereichs sind jedoch nicht Zahlen oder Zeichenfolgen, sondern Funktionen. Der Bezeichner einer Funktion kann so durch Zuweisung geändert werden, ohne die Funktion anzuwenden.

Eine Funktion ohne Bezeichner wird eine anonyme Funktion genannt.

Exkurs

Im Internet und (seltener) in der Literatur werden anonyme Funktionen auch als Lambda-Funktionen bezeichnet. Dieser Name ist dem sog. \lambda-Kalkül (Church, 1940) aus der Berechenbarkeitstheorie entlehnt, weil das \lambda-Kalkül keine Bezeichner und Operatoren benötigt. Deshalb können Operationen im \lambda-Kalkül ausschliesslich durch anonyme Funktionen realisiert werden.

Eine Lambda-Funktion unterscheidet sich nicht von anderen Funktionen!

Dieser besondere Datentyp kann, wie jeder andere Datentyp für Parameter und Ergebnisse von Funktionen verwendet werden.

10.6.1 Callback-Funktionen

Definition 10.17 Eine Callback-Funktion ist eine Funktion, die als Parameter an eine andere Funktion übergeben wurde.

Bei der Übergabe einer Callback-Funktion wird die Funktion als Parameter übergeben. Das entspricht der Zuweisung einer Funktion an einen neuen Bezeichner. Dadurch muss die aufgerufene Funktion den Bezeichner der Callback-Funktion zum Zeitpunkt ihrer Definition nicht kennen, sondern kann über den Parameternamen auf diese Funktion zugreifen.

Bei der Verwendung von Callback-Funktionen muss klar zwischen dem Funktionsbezeichner und der Anwendung der Funktion unterschieden werden. Damit eine Funktion und nicht ihr Ergebnis als Parameter an eine andere Funktion übergeben werden kann, muss der Anwendungsoperator und die Parameterliste der Funktion weggelassen werden.

Beispiel 10.3 (Anwendung von Callbacks) In Formel 10.24 wird der Funktion g das Ergebnis der Funktionsanwendung f(3) übergeben. Im Gegensatz dazu wird in Formel 10.25 die Funktion f selbst an die Funktion g übergeben. Die Funktion g kann nun die Funktion f aufrufen.

g(f(3)) \tag{10.24}

g(f) \tag{10.25}

Callback-Funktionen ermöglichen das Verallgemeinern von Algorithmen, indem der spezielle Teil einer Funktion durch eine Callback-Funktion festgelegt wird. Die Funktion, die eine andere Funktion als Parameter akzeptiert, heisst Funktion höherer Ordnung. Eine Funktion heisst Callback, wenn sie einer Funktion höherer Ordnung als Parameter übergeben wird.

10.6.2 Closure-Funktionen

Definition 10.18 Closure-Funktionen sind Funktionen, die als Rückgabewert von einer anderen Funktion erzeugt werden.

Eine Closure-Funktion wird im Geltungsbereich der erzeugenden Funktion definiert und übernimmt alle Bezeichner dieses Geltungsbereichs, so dass für eine komplexe Operation alle notwendigen Werte vorhanden sind.

Das Beispiel in Formel 10.26 erzeugt die Funktion pDef Closure-Funktionen zum Potenzieren mit einem festen Exponenten.

pDef(exponent) \to \\ (closure(basis) \to potenz(basis, exponent)) \tag{10.26}

Die Funktion pDef kann nun dazu verwendet werden, neue Funktionen zu erzeugen. Z.B. die Funktionen quadrat und kubik. Die Funktion quadrat hat den festen Exponenten 2 und die Funktion kubik den festen Exponenten 3. Diese Funktionsdefinitionen zeigt Formel 10.27.

\begin{aligned} quadrat &\to pDef(2) \\ kubik &\to pDef(3) \end{aligned} \tag{10.27}

Die beiden Bezeichner enthalten nun eigene Versionen der closure-Funktion.

Jede Anwendung von pDef erzeugt eine neue Funktion. Dabei ist der Bezeichner closure auf den Geltungsbereich von pDef beschränkt. Deshalb kann dieser nach dem Anwenden der Funktion pDef nicht direkt verwendet werden.

Die erzeugten Funktionen lassen sich wie andere Funktionen über ihre Bezeichner anwenden. Im aktuellen Beispiel ergeben sich so die Gleichungen in Formel 10.28.

\begin{aligned} quadrat(2) &= 4 \\ quadrat(3) &= 9 \\ kubik(2) &= 8 \\ kubik(3) &= 27 \end{aligned} \tag{10.28}

Closure-Funktionen vereinfachen komplexe Funktionen, indem deren Parameter über die erzeugende Funktion festgelegt werden. Diese Technik wird in der Literatur gelegentlich als currying bezeichnet.

10.7 Besonderheiten von Funktionsketten

10.7.1 Die Identitätsfunktion

Als erstes soll die Verkettung einer beliebigen Projektion F mit der Identitätsfunktion f_{id} untersucht werden. Es ist wichtig, dass F eine Projektion ist, weil nur diese einer Eingabe immer den gleichen Ergebniswert zuweisen. Die Identitätsfunktion ist in Formel 10.9 definiert. Diese Funktion kann für jeden Wertebereich angepasst werden, so dass für jeden Wertebereich eine geeignete Identitätsfunktion für die Verkettung existiert. All diese Versionen der Identitätsfunktion werden unter f_{id} zusammenfasst und als die Identitätsfunktion bezeichnet.

Zuerst wird die Funktionsverkettung mit dem allgemeinen Verkettungsoperator betrachtet.

Wird die Identitätsfunktion mit einer beliebigen Funktion F nachfolgend verkettet, dann wird das Ergebnis dieser Funktion an die Identitätsfunktion als Parameter übergeben. Weil die Identitätsfunktion die übergebenen Parameter unverändert als Ergebnis zurückgibt, ist das Ergebnis der nachfolgenden Verknüpfung gleich dem Ergebnis der Funktion F. Es gilt also Formel 10.29.

f_{id} \circ F = F \tag{10.29}

Im vorangehenden Fall wird das Ergebnis der Identitätsfunktion an die Funktion F als Parameter übergeben. Weil F beliebig viele Parameter haben kann, werden ihre Parameter als eine Parameterliste behandelt. Diese Parameterliste wird der Identätsfunktion übergeben, weil der Wertebereich der Parameter und der Rückgabewerte der Identitätsfunktion identisch sind, kann die Identitätsfunktion immer mit einer Funktion verkettet werden, die diese Parameterliste akzeptiert. Weil die Parameter unverändert der Funktion F übergeben werden und F eine Projektion ist, ist das Ergebnis dieser Funktionskette identisch mit dem Ergebnis von F. Es gilt also Formel 10.30.

F \circ f_{id} = F \tag{10.30}

Aus Formel 10.29 und Formel 10.30 ergibt sich Formel 10.31.

f_{id} \circ F = F \circ f_{id} = F \tag{10.31}

Diese Beziehung erfüllt die Kriterien für das neutrale Element aus Formel 10.12 für den allgemeinen Verkettungsoperator.

Für die spezielle Funktionsverkettung vereinfachen sich diese Überlegungen, weil nur der erste Parameter P_1 und nicht die ganze Parameterliste P betrachtet werden muss. Wie oben beschrieben, darf die restliche Parameterliste der Funktion F nicht vernachlässigt werden.

Für den Fall, dass die Identitätsfunktion die vorangehende Funktion ist, gilt Formel 10.32. Die Identitätsfunktion betrifft also nur den ersten Parameter von F. Wegen der Definition der Identitätsfunktion gilt die Gleichung f_{id}(P_1) = P_1.

f_{id}(P_1) \triangleright F(P') = P_1 \triangleright F(P') = F(P) \tag{10.32}

Entsprechend dieser Logik kann auch Ergebnis der vorangehenden Funktion als ein einzelner Wert behandelt werden. Das ist für den zweiten Fall wichtig, wenn die Identitätsfunktion die nachfolgende Funktion ist. In diesem Fall wird die Identitätsfunktion auf das Ergebnis angewandt, so dass die Gleichung f_{id}(E) = E gilt. Weil die Identitätsfunktion keine weiteren Parameter akzeptiert, entfällt die Behandlung von P'. Daraus ergibt sich die Gleichung 10.33.

F(P) \triangleright f_{id}() = E = F(P) \tag{10.33}

Werden die beiden Fälle zusammengefasst, dann ergibt sich die Gleichung 10.34.

F(P) \triangleright f_{id}() = f_{id}(P_1) \triangleright F(P') = F(P) \tag{10.34}

Die Identitätsfunktion ist also auch das neutrale Element der speziellen Funktionsverkettung.

Merke

Die Identitätsfunktion ist das neutrale Element der allgemeinen und speziellen Funktionsverkettungsoperators.

10.7.2 Verkettung mit Umkehrfunktionen

In Abschnitt 10.2.2 wurden Projektionen definiert und festgehalten, dass einige Projektionen eine Umkehrfunktion haben.

Existiert für eine beliebige Projektion F eine Umkehrfunktion F^{-1}, dann kann die Verkettung zwischen der Funktion und der Umkehrfunktion untersucht werden. Die Umkehrfunktion einer Funktion akzeptiert die Rückgabewerte der Funktion als Parameter und hat als Rückgabewert die Parameter der ursprünglichen Funktion. Die Parameter von F^{-1} und die Rückgabewerte von F haben gemäss dieser Definition den gleichen Wertebereich. Das Gleiche gilt für die Rückgabewerte von F^{-1} und die Parameter von F. Damit ist für beide Richtungen die Voraussetzung für die Verkettung erfüllt. Es sind also sowohl die Verkettung F^{-1} \circ F als auch F \circ F^{-1} für alle umkehrbaren Funktionen zulässig.

Werden nun die beiden Funktion F und F^{-1} als F \circ F^{-1} verkettet, dann werden die Parameter von F^{-1} auf die Rückgabewerte projiziert. Diese werden anschliessend als Parameter der F als Parameter übergeben und wieder projiziert. Weil das Ergebnis einer umkehrbaren Funktion identisch mit den Parametern ihrer Umkehrfunktion ist, muss das Ergebnis dieser Funktionskette den eingegebenen Parametern entsprechen.

Wird die Verkettung zu F^{-1} \circ F umgekehrt, dann muss das Ergebnis dieser Funktionskette aus den gleichen Gründen wie oben, mit den Parametern von F gleich sein.

Funktionen mit der Eigenschaft, dass Ergebnis und Parameter gleich sind, sind mit der Identitätsfunktion funktional gleich. Es gilt also Formel 10.35.

F^{-1} \circ F = F \circ F^{-1} = f_{id} \tag{10.35}

Merke

Wird eine umkehrbare Projektion mit ihrer Umkehrfunktion verkettet, dann ist diese verkettete Funktion mit der Identitätsfunktion funktional gleich.

Nun ist f_{id} auch das neutrale Element der Funktionsverkettung. Deshalb gilt zusätzlich, dass jede Verkettung einer umkehrbaren Projektion mit ihrer Umkehrfunktion redundant ist. Diese Überlegung lässt sich weiter verallgemeinern:

Merke

Jede (Teil-)Funktionskette, die mit der Identitätsfunktion funktional gleich ist, ist redundant und kann weggelassen werden.

Church, A. (1940). A formulation of the simple theory of types. Journal of Symbolic Logic, 5(2), 56–68. https://doi.org/10.2307/2266170

Knuth, D. E. (1968). Semantics of context-free languages. Mathematical Systems Theory, 2(2), 127–145. https://doi.org/10.1007/BF01692511

Python Software Foundation. (2013, Juli 6). Bitwise Operators. https://wiki.python.org/moin/BitwiseOperators