8 Datentypen
8.1 Fundamentale Datentypen
Datentypen helfen uns Werte zu organisieren. Wir haben bereits drei wichtige Datentypen kennengelernt. Damit kennen wir bereits den Grossteil der wichtigsten Datentypen für einzelne Werte. Die vollständige Auflistung besteht aus fünf Datentypen:
- Zahlen (engl. numerics)
- Wahrheitswerte (engl. booleans)
- Zeichenketten (engl. strings)
- Fehlerwerte (engl. error values)
- Undefinierte Werte (engl. undefined values).
Diese Datentypen beschreiben jeweils einzelne Werte.
Definition 8.1 Fundamentale Datentypen heissen Datentypen, die Eigenschaften für einzelne Werte festlegen.
Definition 8.2 Ein Wert von einem fundamentalen Datentyp heisst Skalar.
Die fundamentalen Datentypen legen die allgemeinen Wertebereiche fest, auf welchen die speziellen Wertebereiche der Datenschemata aufbauen.
8.1.1 Undefinierte Werte
Gelegentlich fehlen Werte in den Daten oder wurden bei der Datenverarbeitung (noch) nicht zugewiesen. In diesen Fällen werden die “fehlenden” Werte nicht ignoriert, sondern als undefinierte Werte festgehalten.
Definition 8.3 Als undefinierte Werte die keine Werte repräsentieren.
In den meisten Programmiersprachen werden undefinierte Werte auf einen konstanten Wert abgebildet. Dieser Wert ist in der Regel vom beliebigen Datentyp.
8.1.2 Zahlen
Definition 8.4 Als Zahlenwerte werden nummerische Werte bezeichnet.
Zahlenwerte können verschiedene Darstellungen haben, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert (s. Kapitel 16).
Zahlenwerte können in zwei Klassen unterteilt werden:
- Ganze Zahlen
- Reelle Zahlen
Daneben unterstützen die meisten Programmiersprachen für die Datenanalyse auch komplexe Zahlen. Diese werden jedoch selten direkt eingegeben, sondern sind in der Regel Teil von Berechnungen.
Ein Teil der reellen Zahlen sind die Gleitkommazahlen. Gleitkommazahlen arbeiten wie die wissenschaftliche Schreibweise von Zahlen (s. Abschnitt 3.4) mit einer Basis und einer Potenz, durch welche die Grössenordnung einer Zahl definiert ist.
Alle reellen Zahlen werden in Computern grundsätzlich als Gleitkommazahlen abgebildet. Dadurch wird der mögliche Zahlenraum prinzipiell erweitert. Zahlen lassen sich so nicht mehr mit beliebiger Genauigkeit behandeln. Deshalb kann mit Gleitkommazahlen nicht immer exakt gerechnet werden. Das ist immer dann der Fall, wenn sehr kleine und sehr grosse Zahlen miteinander verrechnet werden. In solchen Fällen kann es zu unerwarteten Rundungsfehlern kommen.
Falls sehr genaue Berechnungen notwendig sind, dann müssen spezielle Bibliotheken verwendet werden, die mit der entsprechenden Genauigkeit umgehen können.
8.1.3 Wahrheitswerte
Definition 8.5 Als Wahrheitswerte werden die Werte Wahr (True) und Falsch (False) bezeichnet.
Weil es nur zwei Wahrheitswerte gibt, werden sind Wahrheitswerte ein binärer Datentyp.
In den meisten Programmiersprachen lassen sich Zahlenwerte als Wahrheitswerte verwenden. Dabei wird die Zahl 0 als Falsch und alle anderen Zahlen als Wahr interpretiert.
Wahrheitswerte werden meistens zur Steuerung der Programmlogik verwendet (s. Kapitel 12).
8.1.4 Zeichenketten
Definition 8.6 Als Zeichenketten werden Werte bezeichnet, die aus einer Zeichenfolge bestehen. Dazu gehören Buchstaben, Ziffern, sowie Leer-, Satz- und Sonderzeichen.
Zeichenketten setzen sich aus Symbolen zusammen, weshalb Zeichenketten eine Länge haben. Die Länge einer Zeichenkette entspricht der Anzahl ihrer Symbole. Entsprechend hat jedes Symbol eine eindeutige Position in der Zeichenkette.
Zeichenketten werden für alle Werte verwendet, die nicht als Zahlenwerte oder Wahrheitswerte dargestellt werden können. Gelegentlich müssen Zahlen als Zeichenketten dargestellt werden, um sie in einem bestimmten Format auszugeben oder für mathematische Operationen zu sperren.
In den meisten Programmiersprachen müssen Zeichenketten besonders markiert werden, damit sie von anderen Datentypen und Bezeichnern unterschieden werden können (s. Kapitel 10). Die Markierung erfolgt meistens durch Anführungszeichen.
Programmiersprachen wie bspw. C, C++, C# oder Java verwenden für Zeichenketten den fundamentalen Datentyp des Symbols (oder Character). In diesen Programmiersprachen werden Zeichenketten als Liste von Symbolen behandelt.
Diese Unterscheidung ist für die Programmiersprachen der Datenwissenschaften nur insofern von Bedeutung, als dass eine Zeichenkette eine Länge hat und jedes Symbol in einer Zeichenkette über dessen Position abgefragt werden kann.
8.1.5 Fehlerwerte
Definition 8.7 Als Fehlerwerte werden Werte bezeichnet, die Fehler repräsentieren.
Fehlerwerte unterscheiden sich von den anderen Datentypen. Mit ihnen eine Programmierumgebung oder eine Programmiersprache an, dass ein Fehler aufgetreten ist oder eine unzulässige Operation ausgeführt wurde. Für die meisten Programmiersprachen sind die möglichen Fehler von Operationen und Funktionen dokumentiert.
Fehlerwerte können nicht mit anderen Datentypen verknüpft werden. Wird ein Fehlerwert mit einem anderen Datentyp verknüpft, dann wird der Fehlerwert als Ergebnis zurückgegeben.
Fehlerwerte geben an, welche Art von Fehler aufgetreten ist. Dadurch können regelmässig auftretende Fehler automatisch behandelt werden. Hierzu stellen alle Programmiersprachen spezielle Funktionen zur Fehlerbehandlung bereit.
Ein besonderer Fehlerwert in der Datenanalyse ist der fehlende Wert. Er wird verwendet, wenn ein Wert nicht vorhanden ist oder nicht zugewiesen wurde. Dieser Wert ist notwendig, weil fehlende Werte (normalerweise) nicht durch den Wert 0 ersetzt werden dürfen. Er ist dem Datentyp undefinierter Wert vorzuziehen, weil dieser Fehlerwert einen fehlenden Wert explizit kennzeichnet und diesen Wert für normale Operationen sperrt, was bei undefinierten Werten nicht immer der Fall ist.
8.2 Klassen von Datentypen
Es werden zwei Klassen von Datentypen unterschieden:
- Diskrete Daten
- Kontinuierliche Daten
In der Statistik heissen die folgenden Wertebereichklassen Skalenniveaus.
8.2.1 Diskrete Daten
Definition 8.8 Wenn ein Wertebereich nur eindeutige Werte enthält, dann heisst der Wertebereich diskret.
Ganze Zahlen, Wahrheitswerte, Zeichenketten und Fehlerwerte haben immer diskrete Wertebereiche. Undefinierte Werte umfassen nur einen einzigen Wert und können je nach Kontext diskret oder kontinuierlich sein.
Es werden drei Arten von diskreten Daten unterschieden:
- Nominale Daten
- Ordinale Daten
- Intervallskalierte Daten
Zusätzlich erfahren binäre Wertebereiche oft eine besondere Behandlung in der Literatur.
8.2.1.1 Nominalskalierte Daten
Definition 8.9 Lassen sich alle Werte in einem Wertebereich eindeutig voneinander unterscheiden, dann liegt ein nominalskalierter Wertebereich vor.
Nominalskalierte Daten können nur durch Gleichheit oder Ungleichheit voneinander unterschieden werden. Nominalskalierte Daten können nur über Häufigkeiten zusammengefasst werden.
8.2.1.2 Ordinalskalierte Daten
Definition 8.10 Lassen sich alle Werte eines nominalskalierten Wertebereichs in eine eindeutige Reihenfolge sortieren, dann liegt ein ordinalskalierter Wertebereich vor.
Ordinale Daten sind eine Untermenge der nominalen Daten, bei der sich die Werte im Wertebereich sortieren lassen. Dadurch kann jedem Wert ein eindeutiger Rang zugewiesen werden. Der Rang markiert die Position eines Werts im sortierten Wertebereich.
Eine Reihenfolge bedeutet nicht, dass auch die Abstände zwischen allen Werten gleich sind.
8.2.1.3 Binäre Daten
Definition 8.11 Hat ein Wertebereich genau zwei Werte, dann liegt ein binärer Wertebereich vor.
Binäre Wertebereiche sind ein Sonderfall unter den diskreten Daten, denn sie können entweder nominal- oder ordinalskaliert sein.
Ein binärer Wertebereich ist ordinalskaliert, wenn die zulässigen Werte sortierbar sind. Ein häufiger Fall eines ordinalen binären Wertebereichs sind vorher-nachher-Markierungen.
Alle binären Daten können als Wahrheitswerte dargestellt werden.
Mehrere binäre Wertebereiche können durch die Verknüpfung von Zweier-Potenzen zu einem nominalskalierten Wertebereich zusammengefasst werden.
8.2.1.4 Intervallskalierte Daten
Definition 8.12 Haben alle Werte in einem Wertebereich die gleichen Abstände, ist der Wertebereich intervallskaliert.
Intervallskalierte Daten sind über die Differenz definiert: Werden zwei beliebige benachbarte Wertepaare ausgewählt, dann muss die Differenz zwischen Paaren, zwischen den beiden kleineren Werten und zwischen den beiden grösseren Werten jeweils zueinander gleich sein. Benachbarte Werte unterscheiden sich im Rang um 1.
Beispiel 8.1 Aus dem ordinalskalierten Wertebereich der ganzen Zahlen \mathbb{I} werden die Werte
1,2,5und6gewählt. Die Wertepaare1und2sowie5und6sind benachbart.Wenn der Wertebereich intervallskaliert ist, dann müssen beide Gleichungen in Formel 8.1 gelten.
2 - 1 = 6 - 5 \Leftrightarrow 1 = 1 \\ und \\ 6 - 2 = 5 - 1 \Leftrightarrow 4 = 4 \tag{8.1}
Beide Gleichungen müssen für alle Wertepaare im Wertebereich gültig sein, was bei den ganzen Zahlen der Fall ist. Deshalb ist \mathbb{I} intervallskaliert.
Die Abstände zwischen den einzelnen Werten lassen sich nicht für alle ordinalen Wertebereiche feststellen. Solche Wertebereiche sind nie intervallskaliert.
8.2.2 Kontinuierliche Daten
Lässt ein Wertebereich beliebige Abstufungen zwischen Werten zu, dann heisst dieser Wertebereich kontinuierlich.
Definition 8.13 Kontinuierliche Daten liegen vor, wenn alle Werte im Wertebereich sortierbar sind, die gleichen Abstände haben und die Verhältnisse von Werten ebenfalls im Wertebereich liegen.
Kontinuierliche Daten werden auch als metrische Daten, varianzskalierte Daten oder kardinale Skalenniveaus bezeichnet.
Definition 8.13 verweist auf die Verhältnisse zwischen zwei Werten. Das Verhältnis ist das Gleiche wie ein Bruch bzw. die Division. Bei diskreten Daten können die Verhältnisse zwischen beliebigen Wertepaaren nicht so gebildet werden, dass auch alle Verhältnisse im gleichen diskreten Wertebereich liegen.
Beispiel 8.2 Gegeben sind die Werte
1,2,3und4aus dem intervallskalierten Wertebereich der ganzen Zahlen \mathbb{I}.Die Verhältnisse zwischen diesen Werten sind \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{1}, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \frac{3}{1}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{1}, \frac{4}{2} und \frac{4}{3}. Nur die Verhältnisse \frac{2}{1}, \frac{3}{1}, \frac{4}{1} und \frac{4}{2} sind wieder ganze Zahlen und würden zum Wertebereich gehören.
Wäre der Wertebereich mit \mathbb{R} festgelegt worden, dann liegen alle Verhältnisse ebenfalls im Wertebereich von \mathbb{R}. Daraus folgt, dass \mathbb{R} ein kontinuierlicher Wertebereich ist.
Alle kontinuierlichen Daten lassen sich auf reelle Zahlen abbilden.
Häufig stellt sich bei der Analyse der Daten heraus, dass die Werte eines eigentlich kontinuierlichen Wertebereichs nur (wenige) diskrete Werte annehmen. In diesem Fall muss der Wertebereich als diskret behandelt werden.
8.3 Datenstrukturen
Aus fundamentalen Datentypen können komplexe Datentypen zusammengesetzt werden, um mehrere Werte zusammenzufassen. Komplexe Datentypen können ausserdem wiederum komplexe Datentypen enthalten. So lassen sich komplexe Strukturen bilden.
Definition 8.14 Eine Datenstruktur ist ein Datentyp, in dem mehrere Werte zusammengefasst werden können.
Weil eine Datenstruktur ebenfalls ein Datentyp ist, lässt sie sich wie ein einzelner Wert behandeln. Dadurch haben Datenstrukturen eine Reihe von Vorteilen:
- Datenstrukturen können als Einheit behandelt werden.
- Datenstrukturen können verschachtelt werden, um noch komplexere Strukturen zu bilden.
- Datenstrukturen können als Sammlung von Einzelwerten betrachtet werden, welche getrennt verarbeitet werden können.
Durch diese Eigenschaften sind Datenstrukturen besonders gut für die Datenorganisation geeignet.
8.3.1 Eindimensionale Datenstrukturen
Datenfelder (engl. arrays) sind eine besondere Datenstruktur. Datenfelder fassen Werte so zusammen, dass jeder Wert eine eindeutige Position hat. Die Position eines Wertes wird durch einen Index angegeben. Die Anzahl der Werte in einer Datenstruktur ist deren Länge. Die Länge und die Indizes einer Datenstruktur sind natürliche Zahlen.
Über die zusammengefassten Datentypen lassen sich zwei Arten von Datenfeldern unterscheiden.
Definition 8.15 Vektoren sind Datenfelder mit Werten vom gleichen Datentyp.
Weil alle Werte in einem Vektor vom gleichen Datentyp sind, sind Vektoren homogene Datenstrukturen.
Definition 8.16 Listen sind Datenfelder mit Werten mit beliebigen Datentypen.
Weil die Datentypen der Listenwerte nicht festgelegt sind, sind Listen heterogene Datenstrukturen.
8.3.2 Mehrdimensionale Datentypen
Die Logik der komplexen Datentypen erlaubt die Verknüpfung von Listen und Vektoren zu noch komplexeren Strukturen.
Definition 8.17 Eine geschachtelte Liste ist eine Liste, die aus beliebigen anderen Datenfeldern (d.h. Listen oder Vektoren) besteht, wobei die eingebetteten Datenfelder unterschiedliche Längen haben können.
Ein Spezialfall der geschachtelten Liste sind Listen, die Vektoren mit gleicher Länge schachteln. Diese Spezialfälle haben besondere Namen:
Definition 8.18 Eine Datenrahmen (engl. data frame) verknüpft mehrere gleichlange Vektoren mit unterschiedlichen Datentypen.
Ein Datenrahmen kann als eine Liste von Vektoren mit gleicher Länge verstanden werden. Diese Datenstruktur muss eine Liste sein, weil die einzelnen Vektoren unterschiedliche Datentypen haben können. Entsprechend gelten Datenrahmen ebenfalls als heterogene Datenstrukturen.
Die gleiche Logik lässt sich auch auf Vektoren anwenden. In diesem Fall ist der Spezialfall ein Vektor, der Vektoren gleicher Länge und des gleichen Datentyps schachtelt. Diese Datenstruktur hat ebenfalls einen eigenen Namen:
Definition 8.19 Eine Matrix verknüpft mehrere gleichlange Vektoren vom Datentyp Zahlen. Die Länge der Vektoren einer Matrix muss mindestens 1 sein.
Weil alle Vektoren in einer Matrix vom gleichen Datentyp sind, sind Matrizen homogene Datenstrukturen.
Eine Matrix hat eine Höhe (oft als m Zeilen gekennzeichnet) und eine Breite (oft als n Spalten gekennzeichnet). Die Anzahl der Zeilen und Spalten müssen natürliche Zahlen sein. Daraus folgt, dass nur Matrizen existieren, für die m und n > 0 gilt.
Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten wird als m \times n-Matrix bezeichnet. Die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix sind ihre Dimensionen.
Die Dimensionen einer Matrix müssen beide >0 sein, aber sie müssen genau nicht gleich sein. Weil m und n einer Matrix grösser als 0 sein müssen, folgt daraus: Vektoren sind spezielle Matrizen mit m-Zeilen und einer Spalte (n = 1).
Definition 8.20 Eine Matrix mit gleichvielen Spalten und Zeilen wird als quadratische Matrix bezeichnet.
Für eine quadratische Matrix gilt immer m = n.
Der Wert an einer Position in einer Matrix ist durch den Zeilen- und Spaltenindex eindeutig identifiziert.
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}
8.4 Vektorformen von Matrizen
Neben der üblichen Schreibweise von Matrizen, können Matrizen auch als Vektoren dargestellt werden. Dabei handelt es sich um eine besondere Schreibweise der Matrix, die Vektorform einer Matrix genannt wird. Für jede Matrix gibt es immer zwei Vektorformen. Die eine Vektorform fügt die Werte einer Matrix spaltenweise aneinander, die andere Vektorform fügt die Werte zeilenweise aneinander.
Die Vektorform einer Matrix kann nur gebildet werden, weil wegen Definition 8.19 die Datentypen aller Werte in einer Matrix gleich sind. Deshalb wird die Bedingung aus Definition 8.15 für die Vektorform einer Matrix erfüllt.
Beispiel 8.3 Vektorformen einer Matrix
Für die folgende Matrix A mit m = 3 Zeilen und n = 2 Spalten soll in ihre Vektorform überführt werden.
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 2 \\\ 6 & 2 \\\ 4 & 6 \\\ 9 & 7 \end{bmatrix}
Für alle Matrizen gibt es zwei Vektorformen.
Die erste Vektorform A_{s} fügt die Werte spaltenweise aneinander.
A_{s} = \begin{bmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 6 \\\ 4 \\\ 9 \\\ 0 \\\ 2 \\\ 2 \\\ 6 \\\ 7 \end{bmatrix}
Die zweite Vektorform A_{z} fügt die Werte zeilenweise aneinander.
A_{z} = \begin{bmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 2 \\\ 6 \\\ 2 \\\ 4 \\\ 6 \\\ 9 \\\ 7 \end{bmatrix}